Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (n/(uno +n))^(n^ dos)
- (n dividir por (1 más n)) en el grado (n al cuadrado )
- (n dividir por (uno más n)) en el grado (n en el grado dos)
- (n/(1+n))(n2)
- n/1+nn2
- (n/(1+n))^(n²)
- (n/(1+n)) en el grado (n en el grado 2)
- n/1+n^n^2
- (n dividir por (1+n))^(n^2)
-
Expresiones semejantes
- (n/(1-n))^(n^2)
Límite de la función (n/(1+n))^(n^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
\n /
/ n \
lim |-----|
n->oo\1 + n/
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$
Limit((n/(1 + n))^(n^2), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 1\right) - 1}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n + 1} + \frac{n + 1}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}} = e^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = 0$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 1\right) - 1}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n + 1} + \frac{n + 1}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}} = e^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2} - 1}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = 0$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = \infty$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = \infty$$
Más detalles con n→-oo