Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de (-3+sqrt(5+x))/(-4+x)
-
Límite de ((1+x)/(-1+x))^x
-
Expresiones idénticas
- z*cos(uno /z)/(- uno +cos(z))
- z multiplicar por coseno de (1 dividir por z) dividir por ( menos 1 más coseno de (z))
- z multiplicar por coseno de (uno dividir por z) dividir por ( menos uno más coseno de (z))
- zcos(1/z)/(-1+cos(z))
- zcos1/z/-1+cosz
- z*cos(1 dividir por z) dividir por (-1+cos(z))
-
Expresiones semejantes
- z*cos(1/z)/(-1-cos(z))
- z*cos(1/z)/(1+cos(z))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/(-1+x)
- cos(sqrt(x))/x
- cos(x)/(1-sin(x))
- cos(2*x)/(-sin(x)+cos(x))
- cos(4*x)*cot(5*x)*tan(3*x)/(cos(7*x)*cot(7*x)*sin(6*x))
- Coseno cos
- cos(x)/(-1+x)
- cos(sqrt(x))/x
- cos(x)/(1-sin(x))
- cos(2*x)/(-sin(x)+cos(x))
- cos(4*x)*cot(5*x)*tan(3*x)/(cos(7*x)*cot(7*x)*sin(6*x))
Límite de la función z*cos(1/z)/(-1+cos(z))
Solución
Ha introducido
[src]
/ /1\ \
| z*cos|-| |
| \z/ |
lim |-----------|
z->0+\-1 + cos(z)/
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right)$$
Limit((z*cos(1/z))/(-1 + cos(z)), z, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\cos{\left(z \right)} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\frac{d}{d z} \left(\cos{\left(z \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{1}{z} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z}}{\sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{1}{z} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z}}{\sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$\left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\cos{\left(z \right)} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d z} z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\frac{d}{d z} \left(\cos{\left(z \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{1}{z} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z}}{\sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{z \to 0^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{1}{z} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{z} \right)}}{z}}{\sin{\left(z \right)}}\right)$$
=
$$\left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /1\ \
| z*cos|-| |
| \z/ |
lim |-----------|
z->0+\-1 + cos(z)/
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right)$$
<-oo, oo>
$$\left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
= -2.91640153441387e-19
/ /1\ \
| z*cos|-| |
| \z/ |
lim |-----------|
z->0-\-1 + cos(z)/
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right)$$
<-oo, oo>
$$\left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
= 2.91640153441387e-19
= 2.91640153441387e-19
Otros límites con z→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right) = \frac{\cos{\left(1 \right)}}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right) = \frac{\cos{\left(1 \right)}}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con z→-oo
Más detalles con z→0 a la izquierda
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con z→oo
$$\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right) = \frac{\cos{\left(1 \right)}}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con z→1 a la izquierda
$$\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right) = \frac{\cos{\left(1 \right)}}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con z→1 a la derecha
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{z \cos{\left(\frac{1}{z} \right)}}{\cos{\left(z \right)} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con z→-oo