Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +(uno +x)^ cinco - cinco *x)/(x^ dos +x^ cinco)
- ( menos 1 más (1 más x) en el grado 5 menos 5 multiplicar por x) dividir por (x al cuadrado más x en el grado 5)
- ( menos uno más (uno más x) en el grado cinco menos cinco multiplicar por x) dividir por (x en el grado dos más x en el grado cinco)
- (-1+(1+x)5-5*x)/(x2+x5)
- -1+1+x5-5*x/x2+x5
- (-1+(1+x)⁵-5*x)/(x²+x⁵)
- (-1+(1+x) en el grado 5-5*x)/(x en el grado 2+x en el grado 5)
- (-1+(1+x)^5-5x)/(x^2+x^5)
- (-1+(1+x)5-5x)/(x2+x5)
- -1+1+x5-5x/x2+x5
- -1+1+x^5-5x/x^2+x^5
- (-1+(1+x)^5-5*x) dividir por (x^2+x^5)
-
Expresiones semejantes
- (-1-(1+x)^5-5*x)/(x^2+x^5)
- (-1+(1+x)^5-5*x)/(x^2-x^5)
- (-1+(1-x)^5-5*x)/(x^2+x^5)
- (1+(1+x)^5-5*x)/(x^2+x^5)
- (-1+(1+x)^5+5*x)/(x^2+x^5)
Límite de la función (-1+(1+x)^5-5*x)/(x^2+x^5)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 5 \
|-1 + (1 + x) - 5*x|
lim |-------------------|
x->oo| 2 5 |
\ x + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right)$$
Limit((-1 + (1 + x)^5 - 5*x)/(x^2 + x^5), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^5:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1}{u^{3} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 5 + 10 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0^{3} + 1}{0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^5:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1}{u^{3} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 5 + 10 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0^{3} + 1}{0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + x^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(x + 1\right)^{5} - 1}{x^{2} \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{5} + x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x}{5 x^{4} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{20 x^{3} + 60 x^{2} + 60 x + 20}{20 x^{3} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 60 x^{2} + 60 x + 20\right)}{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{60 x^{2} + 120 x + 60}{60 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(60 x^{2} + 120 x + 60\right)}{\frac{d}{d x} 60 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{120 x + 120}{120 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(120 x + 120\right)}{\frac{d}{d x} 120 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + x^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(x + 1\right)^{5} - 1}{x^{2} \left(x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{5} + x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x}{5 x^{4} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{20 x^{3} + 60 x^{2} + 60 x + 20}{20 x^{3} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 60 x^{2} + 60 x + 20\right)}{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{60 x^{2} + 120 x + 60}{60 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(60 x^{2} + 120 x + 60\right)}{\frac{d}{d x} 60 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{120 x + 120}{120 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(120 x + 120\right)}{\frac{d}{d x} 120 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 5 \
|-1 + (1 + x) - 5*x|
lim |-------------------|
x->0+| 2 5 |
\ x + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right)$$
10
$$10$$
= 10.0
/ 5 \
|-1 + (1 + x) - 5*x|
lim |-------------------|
x->0-| 2 5 |
\ x + x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right)$$
10
$$10$$
= 10.0
= 10.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 10$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 10$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 13$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 13$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 10$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 10$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 13$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 13$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 5 x + \left(\left(x + 1\right)^{5} - 1\right)}{x^{5} + x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico