Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función/ 4*x*y/ sin(4*x*y)/x

Límite de la función sin(4*x*y)/x

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /sin(4*x*y)\
 lim |----------|
x->0+\    x     /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right)$$ 
Limit(sin((4*x)*y)/x, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right)$$
Sustituimos
$$u = 4 x y$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 y \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$4 y \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right) = 4 y$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(4 x y \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right)$$
=
$$4 y$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 0 vez (veces)
Respuesta rápida [src] 
4*y
$$4 y$$
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /sin(4*x*y)\
 lim |----------|
x->0+\    x     /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right)$$ 
4*y
$$4 y$$ 
     /sin(4*x*y)\
 lim |----------|
x->0-\    x     /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right)$$ 
4*y
$$4 y$$ 
4*y
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right) = 4 y$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right) = 4 y$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right) = \tilde{\infty} y \cos{\left(\tilde{\infty} y \right)}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right) = \sin{\left(4 y \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right) = \sin{\left(4 y \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x y \right)}}{x}\right) = \tilde{\infty} y \cos{\left(\tilde{\infty} y \right)}$$
Más detalles con x→-oo
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