Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 8^+}\left(\sqrt{2 x + 9} - 5\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 8^+}\left(x^{\frac{2}{3}} - 4\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 8^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 9} - 5}{x^{\frac{2}{3}} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 8^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{2 x + 9} - 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{\frac{2}{3}} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 8^+}\left(\frac{3 \sqrt[3]{x}}{2 \sqrt{2 x + 9}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 8^+}\left(\frac{3}{\sqrt{2 x + 9}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 8^+}\left(\frac{3}{\sqrt{2 x + 9}}\right)$$
=
$$\frac{3}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)