Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{9 x^{4} + x + 3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{2} - x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{9 x^{4} + \left(x + 3\right)}}{5 x^{2} + \left(1 - x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{9 x^{4} + x + 3}}{5 x^{2} - x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{9 x^{4} + x + 3}}{\frac{d}{d x} \left(5 x^{2} - x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x^{3} + \frac{1}{2}}{\left(10 x - 1\right) \sqrt{9 x^{4} + x + 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{18 x^{3} + \frac{1}{2}}{10 x - 1}}{\frac{d}{d x} \sqrt{9 x^{4} + x + 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{180 x^{3}}{100 x^{2} - 20 x + 1} + \frac{54 x^{2}}{10 x - 1} - \frac{5}{100 x^{2} - 20 x + 1}}{\frac{18 x^{3}}{\sqrt{9 x^{4} + x + 3}} + \frac{1}{2 \sqrt{9 x^{4} + x + 3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{180 x^{3}}{100 x^{2} - 20 x + 1} + \frac{54 x^{2}}{10 x - 1} - \frac{5}{100 x^{2} - 20 x + 1}}{\frac{18 x^{3}}{\sqrt{9 x^{4} + x + 3}} + \frac{1}{2 \sqrt{9 x^{4} + x + 3}}}\right)$$
=
$$\frac{3}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)