Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} - 6 x + 14} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty} x = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- 6 x + \left(x^{2} + 14\right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 6 x + 14}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} - 6 x + 14}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 6 x + 14}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 6 x + 14}}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)