Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+} \sin{\left(x + 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 3}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sin{\left(x + 1 \right)}}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\cos{\left(x + 1 \right)}}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\cos{\left(x + 1 \right)}}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}\right)$$
=
$$- \sqrt{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)