Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(3 x^{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(12 x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x^{2} \right)}}{12 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x^{2} \right)}}{12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(3 x^{2} \right)}}{\frac{d}{d x} 12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x^{2} \right)}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4}$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)