Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{5}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} \cdot 5^{- x} 5^{x + 1}}{\left(x + 1\right)^{5}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x} 5^{x + 1} x^{5}}{\left(x + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 5 x^{5}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4}}{\left(x + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 5 x^{4}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{3}}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 5 x^{3}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 5 x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 10 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 5$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 5$$
=
$$5$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)