Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{6} - 6 x^{5} + 3 x^{3} - 7 x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x + \left(- 6 x^{3} + \left(\left(x^{4} - 7\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 6 x^{5} + 3 x^{3} + x^{2} \left(x^{4} - 7\right) - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{6} - 6 x^{5} + 3 x^{3} - 7 x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{2} - 14 x}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x^{5} - 30 x^{4} + 9 x^{2} - 14 x\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(15 x^{4} - 60 x^{3} + 9 x - 7\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(15 x^{4} - 60 x^{3} + 9 x - 7\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)