Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno + tres *x)/(- uno + tres *x))^(cinco + dos *x)
- ((1 más 3 multiplicar por x) dividir por ( menos 1 más 3 multiplicar por x)) en el grado (5 más 2 multiplicar por x)
- ((uno más tres multiplicar por x) dividir por ( menos uno más tres multiplicar por x)) en el grado (cinco más dos multiplicar por x)
- ((1+3*x)/(-1+3*x))(5+2*x)
- 1+3*x/-1+3*x5+2*x
- ((1+3x)/(-1+3x))^(5+2x)
- ((1+3x)/(-1+3x))(5+2x)
- 1+3x/-1+3x5+2x
- 1+3x/-1+3x^5+2x
- ((1+3*x) dividir por (-1+3*x))^(5+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+3*x)/(1+3*x))^(5+2*x)
- ((1-3*x)/(-1+3*x))^(5+2*x)
- ((1+3*x)/(-1-3*x))^(5+2*x)
- ((1+3*x)/(-1+3*x))^(5-2*x)
Límite de la función ((1+3*x)/(-1+3*x))^(5+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
5 + 2*x
/1 + 3*x \
lim |--------|
x->oo\-1 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$
Limit(((1 + 3*x)/(-1 + 3*x))^(5 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x - 1\right) + 2}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x - 1} + \frac{2}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3} + \frac{17}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{17}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{17}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = e^{\frac{4}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x - 1\right) + 2}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x - 1} + \frac{2}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3} + \frac{17}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{17}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{17}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = e^{\frac{4}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = e^{\frac{4}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = 128$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = 128$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = e^{\frac{4}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = 128$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = 128$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x - 1}\right)^{2 x + 5} = e^{\frac{4}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico