Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2 x}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2}}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 \sqrt{u}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 \sqrt{u}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{\sqrt{u}}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{\sqrt{u}}} = e^{- \frac{2}{\sqrt{u}}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2 x} = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo