Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((- dos +x)/x)^(dos + dos *x)
- (( menos 2 más x) dividir por x) en el grado (2 más 2 multiplicar por x)
- (( menos dos más x) dividir por x) en el grado (dos más dos multiplicar por x)
- ((-2+x)/x)(2+2*x)
- -2+x/x2+2*x
- ((-2+x)/x)^(2+2x)
- ((-2+x)/x)(2+2x)
- -2+x/x2+2x
- -2+x/x^2+2x
- ((-2+x) dividir por x)^(2+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((-2+x)/x)^(2-2*x)
- ((2+x)/x)^(2+2*x)
- ((-2-x)/x)^(2+2*x)
Límite de la función ((-2+x)/x)^(2+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 + 2*x
/-2 + x\
lim |------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2}$$
Limit(((-2 + x)/x)^(2 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x} + \frac{x}{x}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2 x + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2 x + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 - 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x} + \frac{x}{x}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2 x + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2 x + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 - 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = e^{-4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 2}{x}\right)^{2 x + 2} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo