Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x^(- dos))^x
- (1 más x en el grado ( menos 2)) en el grado x
- (uno más x en el grado ( menos dos)) en el grado x
- (1+x(-2))x
- 1+x-2x
- 1+x^-2^x
-
Expresiones semejantes
- (1+x^(2))^x
- (1-x^(-2))^x
Límite de la función (1+x^(-2))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/ 1 \
lim |1 + --|
x->oo| 2|
\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x}$$
Limit((1 + x^(-2))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2}}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{u}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{u}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{1}{\sqrt{u}}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{1}{\sqrt{u}}} = e^{- \frac{1}{\sqrt{u}}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2}}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{u}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{u}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{1}{\sqrt{u}}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{1}{\sqrt{u}}} = e^{- \frac{1}{\sqrt{u}}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
x
/ 1 \
lim |1 + --|
x->0+| 2|
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x}$$
1
$$1$$
= 1.06871215275603
x
/ 1 \
lim |1 + --|
x->0-| 2|
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x}$$
1
$$1$$
= 0.996372515718011
= 0.996372515718011
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
Gráfico