Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((- uno + ocho *x)/(tres + ocho *x))^(uno +x)
- (( menos 1 más 8 multiplicar por x) dividir por (3 más 8 multiplicar por x)) en el grado (1 más x)
- (( menos uno más ocho multiplicar por x) dividir por (tres más ocho multiplicar por x)) en el grado (uno más x)
- ((-1+8*x)/(3+8*x))(1+x)
- -1+8*x/3+8*x1+x
- ((-1+8x)/(3+8x))^(1+x)
- ((-1+8x)/(3+8x))(1+x)
- -1+8x/3+8x1+x
- -1+8x/3+8x^1+x
- ((-1+8*x) dividir por (3+8*x))^(1+x)
-
Expresiones semejantes
- ((-1+8*x)/(3+8*x))^(1-x)
- ((-1+8*x)/(3-8*x))^(1+x)
- ((1+8*x)/(3+8*x))^(1+x)
- ((-1-8*x)/(3+8*x))^(1+x)
Límite de la función ((-1+8*x)/(3+8*x))^(1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + x
/-1 + 8*x\
lim |--------|
x->oo\3 + 8*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$
Limit(((-1 + 8*x)/(3 + 8*x))^(1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(8 x + 3\right) - 4}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{8 x + 3} + \frac{8 x + 3}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{8 x + 3}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{8} - \frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{8}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{8}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(8 x + 3\right) - 4}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{8 x + 3} + \frac{8 x + 3}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{8 x + 3}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{8 x + 3}\right)^{x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{8} - \frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{8}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{8}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{49}{121}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{49}{121}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{49}{121}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{49}{121}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{8 x - 1}{8 x + 3}\right)^{x + 1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo