Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-27+x^3)/(-3+x)
-
Límite de (-6+x+x^2)/(-2+x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(20+x^2-12*x)
-
Límite de tan(5*x)/x
-
Expresiones idénticas
- (dos +(uno +n)^ dos)/(dos +n^ dos)
- (2 más (1 más n) al cuadrado ) dividir por (2 más n al cuadrado )
- (dos más (uno más n) en el grado dos) dividir por (dos más n en el grado dos)
- (2+(1+n)2)/(2+n2)
- 2+1+n2/2+n2
- (2+(1+n)²)/(2+n²)
- (2+(1+n) en el grado 2)/(2+n en el grado 2)
- 2+1+n^2/2+n^2
- (2+(1+n)^2) dividir por (2+n^2)
-
Expresiones semejantes
- (2+(1-n)^2)/(2+n^2)
- (2-(1+n)^2)/(2+n^2)
- (2+(1+n)^2)/(2-n^2)
Límite de la función (2+(1+n)^2)/(2+n^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|2 + (1 + n) |
lim |------------|
n->oo| 2 |
\ 2 + n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right)$$
Limit((2 + (1 + n)^2)/(2 + n^2), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{1 + \frac{2}{n^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{1 + \frac{2}{n^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} + 2 u + 1}{2 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 3 \cdot 0^{2} + 1}{2 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{1 + \frac{2}{n^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{1 + \frac{2}{n^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} + 2 u + 1}{2 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 3 \cdot 0^{2} + 1}{2 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 2 n + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 2 n + 3\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 2}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 2 n + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 2 n + 3\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 2}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = 2$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = 2$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = 2$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = 2$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 2}{n^{2} + 2}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico