Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x^{2} + x + 1 \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \operatorname{acot}{\left(x^{2} + \left(x + 1\right) \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x^{2} + x + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 2}{\frac{1}{\operatorname{acot}^{2}{\left(x^{2} + x + 1 \right)}} + \frac{1}{2 x \operatorname{acot}^{2}{\left(x^{2} + x + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 2}{\frac{1}{\operatorname{acot}^{2}{\left(x^{2} + x + 1 \right)}} + \frac{1}{2 x \operatorname{acot}^{2}{\left(x^{2} + x + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)