Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
- Límite de (-2*sin(a+x)+sin(a)+sin(a+2*x))/x^2
-
Límite de (1-cos(6*x))/(x*sin(3*x))
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1+3/x)^(-x)
-
Expresiones idénticas
- n*(uno -sqrt(uno + uno /n))
- n multiplicar por (1 menos raíz cuadrada de (1 más 1 dividir por n))
- n multiplicar por (uno menos raíz cuadrada de (uno más uno dividir por n))
- n*(1-√(1+1/n))
- n(1-sqrt(1+1/n))
- n1-sqrt1+1/n
- n*(1-sqrt(1+1 dividir por n))
-
Expresiones semejantes
- n*(1-sqrt(1-1/n))
- n*(1+sqrt(1+1/n))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(-3+x)-sqrt(2+x)
- sqrt(x+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt((2+x)*(3+x))-x
- sqrt(-2+x)/(-4+x^2)
Límite de la función n*(1-sqrt(1+1/n))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / _______\\
| | / 1 ||
lim |n*|1 - / 1 + - ||
n->oo\ \ \/ n //
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right)$$
Limit(n*(1 - sqrt(1 + 1/n)), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{n + 1}{n}}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(1 - \sqrt{\frac{n + 1}{n}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{n + 1}{n}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(1 - \sqrt{\frac{n + 1}{n}}\right)^{2} \left(n + 1\right)}{n \sqrt{\frac{n + 1}{n}} \left(\frac{1}{2 n} - \frac{n + 1}{2 n^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- 2 n \left(- 2 n \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 2 n - 2 \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 3 + \frac{1}{n}\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- 2 n \left(- 2 n \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 2 n - 2 \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 3 + \frac{1}{n}\right)\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{n + 1}{n}}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(1 - \sqrt{\frac{n + 1}{n}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{n + 1}{n}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(1 - \sqrt{\frac{n + 1}{n}}\right)^{2} \left(n + 1\right)}{n \sqrt{\frac{n + 1}{n}} \left(\frac{1}{2 n} - \frac{n + 1}{2 n^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- 2 n \left(- 2 n \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 2 n - 2 \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 3 + \frac{1}{n}\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- 2 n \left(- 2 n \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 2 n - 2 \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 3 + \frac{1}{n}\right)\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→-oo