Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- (tres + seis *x)/(x^ dos *(uno +x)^ dos)
- (3 más 6 multiplicar por x) dividir por (x al cuadrado multiplicar por (1 más x) al cuadrado )
- (tres más seis multiplicar por x) dividir por (x en el grado dos multiplicar por (uno más x) en el grado dos)
- (3+6*x)/(x2*(1+x)2)
- 3+6*x/x2*1+x2
- (3+6*x)/(x²*(1+x)²)
- (3+6*x)/(x en el grado 2*(1+x) en el grado 2)
- (3+6x)/(x^2(1+x)^2)
- (3+6x)/(x2(1+x)2)
- 3+6x/x21+x2
- 3+6x/x^21+x^2
- (3+6*x) dividir por (x^2*(1+x)^2)
-
Expresiones semejantes
- (3-6*x)/(x^2*(1+x)^2)
- (3+6*x)/(x^2*(1-x)^2)
Límite de la función (3+6*x)/(x^2*(1+x)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 + 6*x \
lim |-----------|
x->oo| 2 2|
\x *(1 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Limit((3 + 6*x)/((x^2*(1 + x)^2)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{6}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{6}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{4} + 6 u^{3}}{u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{3 \cdot 0^{4} + 6 \cdot 0^{3}}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{6}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{6}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{4} + 6 u^{3}}{u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{3 \cdot 0^{4} + 6 \cdot 0^{3}}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{3} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(2 x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{4}}{3} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + \frac{2 x}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + \frac{2 x}{3}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{3} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(2 x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{4}}{3} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + \frac{2 x}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + \frac{2 x}{3}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + 3}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo