Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Expresiones idénticas
- ((- tres +x)/x)^(x/ dos)
- (( menos 3 más x) dividir por x) en el grado (x dividir por 2)
- (( menos tres más x) dividir por x) en el grado (x dividir por dos)
- ((-3+x)/x)(x/2)
- -3+x/xx/2
- -3+x/x^x/2
- ((-3+x) dividir por x)^(x dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- ((3+x)/x)^(x/2)
- ((-3-x)/x)^(x/2)
Límite de la función ((-3+x)/x)^(x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
x
-
2
/-3 + x\
lim |------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$
Limit(((-3 + x)/x)^(x/2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x} + \frac{x}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{3 u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{3 u}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{3}{2}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{3}{2}} = e^{- \frac{3}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{3}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x} + \frac{x}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{3 u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{3 u}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{3}{2}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{3}{2}} = e^{- \frac{3}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{3}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{3}{2}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{3}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 3}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{3}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico