Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
- Límite de (e^(a*x)-cos(a*x))/(e^(b*x)-cos(b*x))
-
Límite de (2^(2+x)+3^(3+x))/(2^x+3^x)
-
Límite de ((1-x)/(2-x))^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +(log(uno +x)/log(x))^x)*log(x)
- ( menos 1 más ( logaritmo de (1 más x) dividir por logaritmo de (x)) en el grado x) multiplicar por logaritmo de (x)
- ( menos uno más ( logaritmo de (uno más x) dividir por logaritmo de (x)) en el grado x) multiplicar por logaritmo de (x)
- (-1+(log(1+x)/log(x))x)*log(x)
- -1+log1+x/logxx*logx
- (-1+(log(1+x)/log(x))^x)log(x)
- (-1+(log(1+x)/log(x))x)log(x)
- -1+log1+x/logxxlogx
- -1+log1+x/logx^xlogx
- (-1+(log(1+x) dividir por log(x))^x)*log(x)
-
Expresiones semejantes
- (-1-(log(1+x)/log(x))^x)*log(x)
- (-1+(log(1-x)/log(x))^x)*log(x)
- (1+(log(1+x)/log(x))^x)*log(x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(2+2*cos(x))*sin(x)/2
- log(-1+3^cos(x))/(2*x+atan(3*x))
- log(cos(x)+sin(x))/x
- log(2+6*e^x+x*e^2)
- log((1/2+x-sqrt(5)/2)/(1/2+x+sqrt(5)/2))
- Logaritmo log
- log(2+2*cos(x))*sin(x)/2
- log(-1+3^cos(x))/(2*x+atan(3*x))
- log(cos(x)+sin(x))/x
- log(2+6*e^x+x*e^2)
- log((1/2+x-sqrt(5)/2)/(1/2+x+sqrt(5)/2))
- Logaritmo log
- log(2+2*cos(x))*sin(x)/2
- log(-1+3^cos(x))/(2*x+atan(3*x))
- log(cos(x)+sin(x))/x
- log(2+6*e^x+x*e^2)
- log((1/2+x-sqrt(5)/2)/(1/2+x+sqrt(5)/2))
Límite de la función (-1+(log(1+x)/log(x))^x)*log(x)
Solución
Ha introducido
[src]
// x\ \
|| /log(1 + x)\ | |
lim ||-1 + |----------| |*log(x)|
x->oo\\ \ log(x) / / /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right)$$
Limit((-1 + (log(1 + x)/log(x))^x)*log(x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{- x} \left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right)^{2}}{x \left(\frac{x \left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \log{\left(x \right)}} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) \log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} + \log{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{2 x} - 2 \left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} + 1}{x \left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 1 \right)}} + \log{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{2 x} - 2 \left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} + 1}{x \left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 1 \right)}} + \log{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{- x} \left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right)^{2}}{x \left(\frac{x \left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \log{\left(x \right)}} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) \log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} + \log{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{2 x} - 2 \left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} + 1}{x \left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 1 \right)}} + \log{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{2 x} - 2 \left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} + 1}{x \left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x \right)} \log{\left(x + 1 \right)}} + \log{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}} \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)^{x} - 1\right) \log{\left(x \right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo