$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{5}}{2}}{\left(x + \frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{5}}{2}} \right)} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-} \log{\left(\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{5}}{2}}{\left(x + \frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{5}}{2}} \right)} = - \log{\left(1 + \sqrt{5} \right)} + \log{\left(-1 + \sqrt{5} \right)} + i \pi$$
Más detalles con x→0 a la izquierda$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{5}}{2}}{\left(x + \frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{5}}{2}} \right)} = - \log{\left(1 + \sqrt{5} \right)} + \log{\left(-1 + \sqrt{5} \right)} + i \pi$$
Más detalles con x→0 a la derecha$$\lim_{x \to 1^-} \log{\left(\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{5}}{2}}{\left(x + \frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{5}}{2}} \right)} = - \log{\left(\sqrt{5} + 3 \right)} + \log{\left(3 - \sqrt{5} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda$$\lim_{x \to 1^+} \log{\left(\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{5}}{2}}{\left(x + \frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{5}}{2}} \right)} = - \log{\left(\sqrt{5} + 3 \right)} + \log{\left(3 - \sqrt{5} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{5}}{2}}{\left(x + \frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{5}}{2}} \right)} = 0$$
Más detalles con x→-oo