Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^2+x^4-x^3-3*x)/(1+x^3-x-x^2)
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Límite de (e^(5*x)-e^x)/(x^3+asin(x))
-
Límite de ((3-x)^4-(2-x)^4)/((1-x)^4-(1+x)^4)
-
Límite de (5-x^2+2*x^3+3*x^4+5*x)/(1+x^3)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(sqrt(dos)+x^ dos)-sqrt(x^ dos - cuatro *x)
- raíz cuadrada de ( raíz cuadrada de (2) más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (x al cuadrado menos 4 multiplicar por x)
- raíz cuadrada de ( raíz cuadrada de (dos) más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (x en el grado dos menos cuatro multiplicar por x)
- √(√(2)+x^2)-√(x^2-4*x)
- sqrt(sqrt(2)+x2)-sqrt(x2-4*x)
- sqrtsqrt2+x2-sqrtx2-4*x
- sqrt(sqrt(2)+x²)-sqrt(x²-4*x)
- sqrt(sqrt(2)+x en el grado 2)-sqrt(x en el grado 2-4*x)
- sqrt(sqrt(2)+x^2)-sqrt(x^2-4x)
- sqrt(sqrt(2)+x2)-sqrt(x2-4x)
- sqrtsqrt2+x2-sqrtx2-4x
- sqrtsqrt2+x^2-sqrtx^2-4x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(sqrt(2)+x^2)-sqrt(x^2+4*x)
- sqrt(sqrt(2)-x^2)-sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(sqrt(2)+x^2)+sqrt(x^2-4*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(4+3*n^2)-sqrt(5-n+3*n^2)
- sqrt(74)*(5+x)/222
- sqrt(-3+x^2-x)
- sqrt(-3+x^2)
- sqrt(9-x)*cot(pi*(1/2+x/2))/(-2+(1+x)^2+(1+x)^3-2*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(4+3*n^2)-sqrt(5-n+3*n^2)
- sqrt(74)*(5+x)/222
- sqrt(-3+x^2-x)
- sqrt(-3+x^2)
- sqrt(9-x)*cot(pi*(1/2+x/2))/(-2+(1+x)^2+(1+x)^3-2*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(4+3*n^2)-sqrt(5-n+3*n^2)
- sqrt(74)*(5+x)/222
- sqrt(-3+x^2-x)
- sqrt(-3+x^2)
- sqrt(9-x)*cot(pi*(1/2+x/2))/(-2+(1+x)^2+(1+x)^3-2*x)
Límite de la función sqrt(sqrt(2)+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________ __________\
| / ___ 2 / 2 |
lim \\/ \/ 2 + x - \/ x - 4*x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)$$
Limit(sqrt(sqrt(2) + x^2) - sqrt(x^2 - 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} - 4 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) + \left(x^{2} + \sqrt{2}\right)}{\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{\sqrt{2}}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 4 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{\sqrt{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + \sqrt{2}}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} - 4 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{\sqrt{2}}{x}}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + \sqrt{1 + \frac{\sqrt{2}}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{\sqrt{2}}{x}}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + \sqrt{1 + \frac{\sqrt{2}}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2} u + 4}{\sqrt{1 - 4 u} + \sqrt{\sqrt{2} u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \sqrt{2} + 4}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{0^{2} \sqrt{2} + 1}} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} - 4 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 4 x\right) + \left(x^{2} + \sqrt{2}\right)}{\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{\sqrt{2}}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 4 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{\sqrt{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + \sqrt{2}}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} - 4 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{\sqrt{2}}{x}}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + \sqrt{1 + \frac{\sqrt{2}}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{\sqrt{2}}{x}}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + \sqrt{1 + \frac{\sqrt{2}}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2} u + 4}{\sqrt{1 - 4 u} + \sqrt{\sqrt{2} u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \sqrt{2} + 4}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{0^{2} \sqrt{2} + 1}} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + \sqrt{2}} - \sqrt{x^{2} - 4 x}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica