Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +(- uno +x^ dos)/x^ dos)^ tres - cinco *x^ dos
- (1 más ( menos 1 más x al cuadrado ) dividir por x al cuadrado ) al cubo menos 5 multiplicar por x al cuadrado
- (uno más ( menos uno más x en el grado dos) dividir por x en el grado dos) en el grado tres menos cinco multiplicar por x en el grado dos
- (1+(-1+x2)/x2)3-5*x2
- 1+-1+x2/x23-5*x2
- (1+(-1+x²)/x²)³-5*x²
- (1+(-1+x en el grado 2)/x en el grado 2) en el grado 3-5*x en el grado 2
- (1+(-1+x^2)/x^2)^3-5x^2
- (1+(-1+x2)/x2)3-5x2
- 1+-1+x2/x23-5x2
- 1+-1+x^2/x^2^3-5x^2
- (1+(-1+x^2) dividir por x^2)^3-5*x^2
-
Expresiones semejantes
- (1+(-1-x^2)/x^2)^3-5*x^2
- (1+(-1+x^2)/x^2)^3+5*x^2
- (1-(-1+x^2)/x^2)^3-5*x^2
- (1+(1+x^2)/x^2)^3-5*x^2
Límite de la función (1+(-1+x^2)/x^2)^3-5*x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 \
|/ 2\ |
|| -1 + x | 2|
lim ||1 + -------| - 5*x |
x->oo|| 2 | |
\\ x / /
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right)$$
Limit((1 + (-1 + x^2)/x^2)^3 - 5*x^2, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x^{8} + 8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{6} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x^{8} + \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}}{x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 5 x^{8} + 8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 40 x^{7} + 48 x^{5} - 48 x^{3} + 12 x}{6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 40 x^{7} + 48 x^{5} - 48 x^{3} + 12 x\right)}{\frac{d}{d x} 6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 280 x^{6} + 240 x^{4} - 144 x^{2} + 12}{30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 280 x^{6} + 240 x^{4} - 144 x^{2} + 12\right)}{\frac{d}{d x} 30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 1680 x^{5} + 960 x^{3} - 288 x}{120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 1680 x^{5} + 960 x^{3} - 288 x\right)}{\frac{d}{d x} 120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 8400 x^{4} + 2880 x^{2} - 288}{360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 8400 x^{4} + 2880 x^{2} - 288\right)}{\frac{d}{d x} 360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 33600 x^{3} + 5760 x}{720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 33600 x^{3} + 5760 x\right)}{\frac{d}{d x} 720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 - 140 x^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 - 140 x^{2}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 6 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x^{8} + 8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{6} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x^{8} + \left(2 x^{2} - 1\right)^{3}}{x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 5 x^{8} + 8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 40 x^{7} + 48 x^{5} - 48 x^{3} + 12 x}{6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 40 x^{7} + 48 x^{5} - 48 x^{3} + 12 x\right)}{\frac{d}{d x} 6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 280 x^{6} + 240 x^{4} - 144 x^{2} + 12}{30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 280 x^{6} + 240 x^{4} - 144 x^{2} + 12\right)}{\frac{d}{d x} 30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 1680 x^{5} + 960 x^{3} - 288 x}{120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 1680 x^{5} + 960 x^{3} - 288 x\right)}{\frac{d}{d x} 120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 8400 x^{4} + 2880 x^{2} - 288}{360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 8400 x^{4} + 2880 x^{2} - 288\right)}{\frac{d}{d x} 360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 33600 x^{3} + 5760 x}{720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 33600 x^{3} + 5760 x\right)}{\frac{d}{d x} 720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 - 140 x^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 - 140 x^{2}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 6 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right) = -4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right) = -4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right) = -4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right) = -4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 5 x^{2} + \left(1 + \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}\right)^{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo