Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 4 x^{3} + x + 2\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{3} + x^{2} + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 4 x^{3} + \left(x + 2\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 4 x^{3} + x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{3} + x^{2} + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - 12 x^{2}}{9 x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - 12 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(9 x^{2} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{24 x}{18 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 24 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(18 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{4}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{4}{3}$$
=
$$- \frac{4}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)