Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(7+x))/(1-sqrt(3-x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Expresiones idénticas
- tres ^x*(uno +x)^(-x/ cuatro)
- 3 en el grado x multiplicar por (1 más x) en el grado ( menos x dividir por 4)
- tres en el grado x multiplicar por (uno más x) en el grado ( menos x dividir por cuatro)
- 3x*(1+x)(-x/4)
- 3x*1+x-x/4
- 3^x(1+x)^(-x/4)
- 3x(1+x)(-x/4)
- 3x1+x-x/4
- 3^x1+x^-x/4
- 3^x*(1+x)^(-x dividir por 4)
-
Expresiones semejantes
- 3^x*(1-x)^(-x/4)
- 3^x*(1+x)^(x/4)
Límite de la función 3^x*(1+x)^(-x/4)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -x \
| ---|
| x 4 |
lim \3 *(1 + x) /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right)$$
Limit(3^x*(1 + x)^((-x)/4), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} 3^{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{\frac{x}{4}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{- \frac{x}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3^{x}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{\frac{x}{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} \left(x + 1\right)^{- \frac{x}{4}} \log{\left(3 \right)}}{\frac{x}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} \left(x + 1\right)^{- \frac{x}{4}} \log{\left(3 \right)}}{\frac{x}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} 3^{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{\frac{x}{4}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{- \frac{x}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3^{x}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{\frac{x}{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} \left(x + 1\right)^{- \frac{x}{4}} \log{\left(3 \right)}}{\frac{x}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} \left(x + 1\right)^{- \frac{x}{4}} \log{\left(3 \right)}}{\frac{x}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3^{x} \left(x + 1\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo