Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Límite de ((3+7*x)/(-1+7*x))^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- ((dos +x)/x)^(x/ cuatro)
- ((2 más x) dividir por x) en el grado (x dividir por 4)
- ((dos más x) dividir por x) en el grado (x dividir por cuatro)
- ((2+x)/x)(x/4)
- 2+x/xx/4
- 2+x/x^x/4
- ((2+x) dividir por x)^(x dividir por 4)
-
Expresiones semejantes
- ((2-x)/x)^(x/4)
Límite de la función ((2+x)/x)^(x/4)
Solución
Ha introducido
[src]
x
-
4
/2 + x\
lim |-----|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$
Limit(((2 + x)/x)^(x/4), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{4}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = e^{\frac{1}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = \sqrt[4]{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = \sqrt[4]{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = e^{\frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = \sqrt[4]{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = \sqrt[4]{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{\frac{x}{4}} = e^{\frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico