Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{\frac{21}{10}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{\frac{21}{10}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{\frac{21}{10}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{20 x}{21 \left(x + 1\right)^{\frac{11}{10}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{20 x}{21}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{\frac{11}{10}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{200}{231 \sqrt[10]{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{200}{231 \sqrt[10]{x + 1}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)