Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-3+sqrt(4+x))/(-2+sqrt(-1+x))
-
Límite de (-2+sqrt(x))/(-3+sqrt(1+2*x))
- Límite de (a^x-x^a)/(x-a)
-
Límite de (-asin(x)+2*x)/(2*x+atan(x))
-
Expresiones idénticas
- tres ^(-x)*(uno + dos *x^ siete + nueve *x^ cinco)/ nueve
- 3 en el grado ( menos x) multiplicar por (1 más 2 multiplicar por x en el grado 7 más 9 multiplicar por x en el grado 5) dividir por 9
- tres en el grado ( menos x) multiplicar por (uno más dos multiplicar por x en el grado siete más nueve multiplicar por x en el grado cinco) dividir por nueve
- 3(-x)*(1+2*x7+9*x5)/9
- 3-x*1+2*x7+9*x5/9
- 3^(-x)*(1+2*x⁷+9*x⁵)/9
- 3^(-x)(1+2x^7+9x^5)/9
- 3(-x)(1+2x7+9x5)/9
- 3-x1+2x7+9x5/9
- 3^-x1+2x^7+9x^5/9
- 3^(-x)*(1+2*x^7+9*x^5) dividir por 9
-
Expresiones semejantes
- 3^(-x)*(1+2*x^7-9*x^5)/9
- 3^(x)*(1+2*x^7+9*x^5)/9
- 3^(-x)*(1-2*x^7+9*x^5)/9
Límite de la función 3^(-x)*(1+2*x^7+9*x^5)/9
Solución
Ha introducido
[src]
/ -x / 7 5\\
|3 *\1 + 2*x + 9*x /|
lim |---------------------|
x->oo\ 9 /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right)$$
Limit((3^(-x)*(1 + 2*x^7 + 9*x^5))/9, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{7} + 9 x^{5} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 \cdot 3^{x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(2 x^{7} + 9 x^{5} + 1\right)}{9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{7} + 9 x^{5} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(14 x^{6} + 45 x^{4}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(14 x^{6} + 45 x^{4}\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(84 x^{5} + 180 x^{3}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(84 x^{5} + 180 x^{3}\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(420 x^{4} + 540 x^{2}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(420 x^{4} + 540 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(1680 x^{3} + 1080 x\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1680 x^{3} + 1080 x\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(5040 x^{2} + 1080\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5040 x^{2} + 1080\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1120 \cdot 3^{- x} x}{\log{\left(3 \right)}^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1120 \cdot 3^{- x} x}{\log{\left(3 \right)}^{6}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 6 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{7} + 9 x^{5} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 \cdot 3^{x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(2 x^{7} + 9 x^{5} + 1\right)}{9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{7} + 9 x^{5} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(14 x^{6} + 45 x^{4}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(14 x^{6} + 45 x^{4}\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(84 x^{5} + 180 x^{3}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(84 x^{5} + 180 x^{3}\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(420 x^{4} + 540 x^{2}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(420 x^{4} + 540 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(1680 x^{3} + 1080 x\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1680 x^{3} + 1080 x\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(5040 x^{2} + 1080\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5040 x^{2} + 1080\right)}{\frac{d}{d x} 9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1120 \cdot 3^{- x} x}{\log{\left(3 \right)}^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1120 \cdot 3^{- x} x}{\log{\left(3 \right)}^{6}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 6 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right) = \frac{1}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right) = \frac{1}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right) = \frac{4}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right) = \frac{4}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right) = \frac{1}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right) = \frac{1}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right) = \frac{4}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right) = \frac{4}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{- x} \left(9 x^{5} + \left(2 x^{7} + 1\right)\right)}{9}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo