Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- x^ tres /(uno +x^ dos)-x^ dos /(- uno +x)
- x al cubo dividir por (1 más x al cuadrado ) menos x al cuadrado dividir por ( menos 1 más x)
- x en el grado tres dividir por (uno más x en el grado dos) menos x en el grado dos dividir por ( menos uno más x)
- x3/(1+x2)-x2/(-1+x)
- x3/1+x2-x2/-1+x
- x³/(1+x²)-x²/(-1+x)
- x en el grado 3/(1+x en el grado 2)-x en el grado 2/(-1+x)
- x^3/1+x^2-x^2/-1+x
- x^3 dividir por (1+x^2)-x^2 dividir por (-1+x)
-
Expresiones semejantes
- x^3/(1+x^2)-x^2/(-1-x)
- x^3/(1+x^2)-x^2/(1+x)
- x^3/(1-x^2)-x^2/(-1+x)
- x^3/(1+x^2)+x^2/(-1+x)
Límite de la función x^3/(1+x^2)-x^2/(-1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 2 \
| x x |
lim |------ - ------|
x->oo| 2 -1 + x|
\1 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right)$$
Limit(x^3/(1 + x^2) - x^2/(-1 + x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x - 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(- x^{2} + x \left(x - 1\right) - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x - 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(- x^{2} + x \left(x - 1\right) - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x - 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo