Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x*asin(x^2)/(-sin(x)+x*cos(x))
-
Límite de ((5+x)/(-7+x))^(1+x/6)
-
Límite de x^(4/x)
-
Límite de (2+x^2+x^4-x^3-3*x)/(1+x^3-x-x^2)
-
Expresiones idénticas
- dos *x*x^(cuatro /x)/(cinco + tres *x)
- 2 multiplicar por x multiplicar por x en el grado (4 dividir por x) dividir por (5 más 3 multiplicar por x)
- dos multiplicar por x multiplicar por x en el grado (cuatro dividir por x) dividir por (cinco más tres multiplicar por x)
- 2*x*x(4/x)/(5+3*x)
- 2*x*x4/x/5+3*x
- 2xx^(4/x)/(5+3x)
- 2xx(4/x)/(5+3x)
- 2xx4/x/5+3x
- 2xx^4/x/5+3x
- 2*x*x^(4 dividir por x) dividir por (5+3*x)
-
Expresiones semejantes
- 2*x*x^(4/x)/(5-3*x)
Límite de la función 2*x*x^(4/x)/(5+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4\
| -|
| x|
| 2*x*x |
lim |-------|
x->oo\5 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right)$$
Limit(((2*x)*x^(4/x))/(5 + 3*x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{1 + \frac{4}{x}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x^{1 + \frac{4}{x}}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{1 + \frac{4}{x}} \left(\frac{1 + \frac{4}{x}}{x} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 x^{1 + \frac{4}{x}}}{3}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\frac{1 + \frac{4}{x}}{x} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{2}} - \frac{8 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{8 x^{\frac{4}{x}}}{x^{3}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{4}} - \frac{64 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{4}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}}}{x^{4}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{3}}{3 x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{5}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{5}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{8 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{12}{x^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{2}} - \frac{8 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{8 x^{\frac{4}{x}}}{x^{3}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{4}} - \frac{64 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{4}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}}}{x^{4}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{3}}{3 x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{5}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{5}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{8 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{12}{x^{3}}}\right)$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{1 + \frac{4}{x}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x^{1 + \frac{4}{x}}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{1 + \frac{4}{x}} \left(\frac{1 + \frac{4}{x}}{x} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 x^{1 + \frac{4}{x}}}{3}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\frac{1 + \frac{4}{x}}{x} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{2}} - \frac{8 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{8 x^{\frac{4}{x}}}{x^{3}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{4}} - \frac{64 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{4}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}}}{x^{4}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{3}}{3 x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{5}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{5}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{8 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{12}{x^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{2}} - \frac{8 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{8 x^{\frac{4}{x}}}{x^{3}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{4}} - \frac{64 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{4}} + \frac{32 x^{\frac{4}{x}}}{x^{4}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{3}}{3 x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{5}} - \frac{128 x^{\frac{4}{x}} \log{\left(x \right)}}{x^{5}} + \frac{128 x^{\frac{4}{x}}}{3 x^{5}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{8 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} + \frac{12}{x^{3}}}\right)$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x x^{\frac{4}{x}}}{3 x + 5}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo