Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Expresiones idénticas
- ((- tres +x)/(- uno +x))^(- cuatro +x)
- (( menos 3 más x) dividir por ( menos 1 más x)) en el grado ( menos 4 más x)
- (( menos tres más x) dividir por ( menos uno más x)) en el grado ( menos cuatro más x)
- ((-3+x)/(-1+x))(-4+x)
- -3+x/-1+x-4+x
- -3+x/-1+x^-4+x
- ((-3+x) dividir por (-1+x))^(-4+x)
-
Expresiones semejantes
- ((-3+x)/(-1+x))^(-4-x)
- ((-3+x)/(1+x))^(-4+x)
- ((3+x)/(-1+x))^(-4+x)
- ((-3-x)/(-1+x))^(-4+x)
- ((-3+x)/(-1-x))^(-4+x)
- ((-3+x)/(-1+x))^(4+x)
Límite de la función ((-3+x)/(-1+x))^(-4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
-4 + x
/-3 + x\
lim |------|
x->oo\-1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
Limit(((-3 + x)/(-1 + x))^(-4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) - 2}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x - 1}\right)^{x - 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) - 2}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x - 1}\right)^{x - 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = \frac{1}{81}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = \frac{1}{81}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = \frac{1}{81}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = \frac{1}{81}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo