Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -7^+}\left(x + 7\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -7^+}\left(x^{3} + 343\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -7^+}\left(\frac{x + 7}{x^{3} + 343}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -7^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 7\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 343\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -7^+}\left(\frac{1}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -7^+} \frac{1}{147}$$
=
$$\lim_{x \to -7^+} \frac{1}{147}$$
=
$$\frac{1}{147}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)