Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (uno - dos *x+ tres *x^ dos)/(dos -x+ cinco *x^ dos)
- (1 menos 2 multiplicar por x más 3 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (2 menos x más 5 multiplicar por x al cuadrado )
- (uno menos dos multiplicar por x más tres multiplicar por x en el grado dos) dividir por (dos menos x más cinco multiplicar por x en el grado dos)
- (1-2*x+3*x2)/(2-x+5*x2)
- 1-2*x+3*x2/2-x+5*x2
- (1-2*x+3*x²)/(2-x+5*x²)
- (1-2*x+3*x en el grado 2)/(2-x+5*x en el grado 2)
- (1-2x+3x^2)/(2-x+5x^2)
- (1-2x+3x2)/(2-x+5x2)
- 1-2x+3x2/2-x+5x2
- 1-2x+3x^2/2-x+5x^2
- (1-2*x+3*x^2) dividir por (2-x+5*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (1-2*x-3*x^2)/(2-x+5*x^2)
- (1-2*x+3*x^2)/(2-x-5*x^2)
- (1+2*x+3*x^2)/(2-x+5*x^2)
- (1-2*x+3*x^2)/(2+x+5*x^2)
Límite de la función (1-2*x+3*x^2)/(2-x+5*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|1 - 2*x + 3*x |
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\ 2 - x + 5*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right)$$
Limit((1 - 2*x + 3*x^2)/(2 - x + 5*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{5 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{5 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} - 2 u + 3}{2 u^{2} - u + 5}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} - 0 + 3}{- 0 + 2 \cdot 0^{2} + 5} = \frac{3}{5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{3}{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{5 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{5 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} - 2 u + 3}{2 u^{2} - u + 5}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} - 0 + 3}{- 0 + 2 \cdot 0^{2} + 5} = \frac{3}{5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{3}{5}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} - 2 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{2} - x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{5 x^{2} - x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(5 x^{2} - x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x - 2}{10 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(10 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{5}$$
=
$$\frac{3}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} - 2 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{2} - x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{5 x^{2} - x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(5 x^{2} - x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x - 2}{10 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(10 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{5}$$
=
$$\frac{3}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{3}{5}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}{5 x^{2} + \left(2 - x\right)}\right) = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico