Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((-7+2*x^2+21*x)/(9+2*x^2+18*x))^(1+2*x)
-
Límite de ((2+2*x^2)/(1+2*x^2))^(x^2)
-
Límite de (2-cos(3*x))^(1/log(1+x^2))
-
Límite de (2-4*x)/(sqrt(x)-sqrt(2)/2)
-
Expresiones idénticas
- ((tres + cuatro *x)/(- uno + cuatro *x))^(uno / dos +x/ dos)
- ((3 más 4 multiplicar por x) dividir por ( menos 1 más 4 multiplicar por x)) en el grado (1 dividir por 2 más x dividir por 2)
- ((tres más cuatro multiplicar por x) dividir por ( menos uno más cuatro multiplicar por x)) en el grado (uno dividir por dos más x dividir por dos)
- ((3+4*x)/(-1+4*x))(1/2+x/2)
- 3+4*x/-1+4*x1/2+x/2
- ((3+4x)/(-1+4x))^(1/2+x/2)
- ((3+4x)/(-1+4x))(1/2+x/2)
- 3+4x/-1+4x1/2+x/2
- 3+4x/-1+4x^1/2+x/2
- ((3+4*x) dividir por (-1+4*x))^(1 dividir por 2+x dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- ((3-4*x)/(-1+4*x))^(1/2+x/2)
- ((3+4*x)/(-1+4*x))^(1/2-x/2)
- ((3+4*x)/(-1-4*x))^(1/2+x/2)
- ((3+4*x)/(1+4*x))^(1/2+x/2)
Límite de la función ((3+4*x)/(-1+4*x))^(1/2+x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
1 x
- + -
2 2
/3 + 4*x \
lim |--------|
x->oo\-1 + 4*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
Limit(((3 + 4*x)/(-1 + 4*x))^(1/2 + x/2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 x - 1\right) + 4}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x - 1}{4 x - 1} + \frac{4}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 x - 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2} + \frac{5}{8}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{8}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{8}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 x - 1\right) + 4}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x - 1}{4 x - 1} + \frac{4}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 x - 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2} + \frac{5}{8}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{8}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{8}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 1}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo