Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (e^x-e)/(-1+x)
-
Límite de (-1+(1+x)^5-5*x)/(x^2+x^5)
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro +x)/x)^(x^(dos / tres))
- ((4 más x) dividir por x) en el grado (x en el grado (2 dividir por 3))
- ((cuatro más x) dividir por x) en el grado (x en el grado (dos dividir por tres))
- ((4+x)/x)(x(2/3))
- 4+x/xx2/3
- 4+x/x^x^2/3
- ((4+x) dividir por x)^(x^(2 dividir por 3))
-
Expresiones semejantes
- ((4-x)/x)^(x^(2/3))
Límite de la función ((4+x)/x)^(x^(2/3))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2/3\
\x /
/4 + x\
lim |-----|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$
Limit(((4 + x)/x)^(x^(2/3)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 \sqrt[3]{2} u^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 \sqrt[3]{2} u^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{u}}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{u}}} = e^{\frac{2 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{u}}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 \sqrt[3]{2} u^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 \sqrt[3]{2} u^{\frac{2}{3}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{u}}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{u}}} = e^{\frac{2 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{u}}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 5$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 5$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 5$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 5$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x^{\frac{2}{3}}} = 1$$
Más detalles con x→-oo