Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
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Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
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Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- ((cinco + dos *x)/(cuatro + dos *x))^x
- ((5 más 2 multiplicar por x) dividir por (4 más 2 multiplicar por x)) en el grado x
- ((cinco más dos multiplicar por x) dividir por (cuatro más dos multiplicar por x)) en el grado x
- ((5+2*x)/(4+2*x))x
- 5+2*x/4+2*xx
- ((5+2x)/(4+2x))^x
- ((5+2x)/(4+2x))x
- 5+2x/4+2xx
- 5+2x/4+2x^x
- ((5+2*x) dividir por (4+2*x))^x
-
Expresiones semejantes
- ((5+2*x)/(4-2*x))^x
- ((5-2*x)/(4+2*x))^x
Límite de la función ((5+2*x)/(4+2*x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/5 + 2*x\
lim |-------|
x->oo\4 + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4}\right)^{x}$$
Limit(((5 + 2*x)/(4 + 2*x))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 4\right) + 1}{2 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 4} + \frac{1}{2 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2 x + 4}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 4}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2 x + 4}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2} - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4}\right)^{x} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 4\right) + 1}{2 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 4} + \frac{1}{2 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2 x + 4}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 4}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2 x + 4}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2} - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4}\right)^{x} = e^{\frac{1}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Gráfico