Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de ((1+x)/(-1+x))^x
-
Límite de (-1+(1+x)*(1+2*x)*(1+3*x))/x
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos -y^ dos)/(x^ dos +y^ dos)^(tres / dos)
- (x al cuadrado menos y al cuadrado ) dividir por (x al cuadrado más y al cuadrado ) en el grado (3 dividir por 2)
- (x en el grado dos menos y en el grado dos) dividir por (x en el grado dos más y en el grado dos) en el grado (tres dividir por dos)
- (x2-y2)/(x2+y2)(3/2)
- x2-y2/x2+y23/2
- (x²-y²)/(x²+y²)^(3/2)
- (x en el grado 2-y en el grado 2)/(x en el grado 2+y en el grado 2) en el grado (3/2)
- x^2-y^2/x^2+y^2^3/2
- (x^2-y^2) dividir por (x^2+y^2)^(3 dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- (x^2+y^2)/(x^2+y^2)^(3/2)
- (x^2-y^2)/(x^2-y^2)^(3/2)
Límite de la función (x^2-y^2)/(x^2+y^2)^(3/2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 2 \
| x - y |
lim |------------|
x->oo| 3/2|
|/ 2 2\ |
\\x + y / /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$
Limit((x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^(3/2), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - y^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} - y^{2}\right)}{\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{3 \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{3 \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - y^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} - y^{2}\right)}{\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{3 \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{3 \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \frac{y^{2}}{\left(y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \frac{y^{2}}{\left(y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \frac{y^{2} - 1}{y^{2} \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \frac{y^{2} - 1}{y^{2} \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \frac{y^{2}}{\left(y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \frac{y^{2}}{\left(y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \frac{y^{2} - 1}{y^{2} \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \frac{y^{2} - 1}{y^{2} \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo