Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 - 2 x^{2}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x^{3} + 2 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - 2 x^{2}}{7 x^{3} + \left(2 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 - 2 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(7 x^{3} + 2 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4 x}{21 x^{2} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 4 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(21 x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{21 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{21 x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)