Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-3+sqrt(4+x))/(-2+sqrt(-1+x))
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (-2+sqrt(x))/(-3+sqrt(1+2*x))
- Límite de (a^x-x^a)/(x-a)
-
Expresiones idénticas
- ((- uno + diez *x)/(dos + diez *x))^(tres *x)
- (( menos 1 más 10 multiplicar por x) dividir por (2 más 10 multiplicar por x)) en el grado (3 multiplicar por x)
- (( menos uno más diez multiplicar por x) dividir por (dos más diez multiplicar por x)) en el grado (tres multiplicar por x)
- ((-1+10*x)/(2+10*x))(3*x)
- -1+10*x/2+10*x3*x
- ((-1+10x)/(2+10x))^(3x)
- ((-1+10x)/(2+10x))(3x)
- -1+10x/2+10x3x
- -1+10x/2+10x^3x
- ((-1+10*x) dividir por (2+10*x))^(3*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+10*x)/(2+10*x))^(3*x)
- ((-1-10*x)/(2+10*x))^(3*x)
- ((-1+10*x)/(2-10*x))^(3*x)
Límite de la función ((-1+10*x)/(2+10*x))^(3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
3*x
/-1 + 10*x\
lim |---------|
x->oo\ 2 + 10*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$
Limit(((-1 + 10*x)/(2 + 10*x))^(3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(10 x + 2\right) - 3}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{10 x + 2} + \frac{10 x + 2}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{10 x + 2}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{9 u}{10} - \frac{3}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{9 u}{10}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{9 u}{10}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{9 u}{10}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{9}{10}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{9}{10}} = e^{- \frac{9}{10}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = e^{- \frac{9}{10}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(10 x + 2\right) - 3}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{10 x + 2} + \frac{10 x + 2}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{10 x + 2}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{10 x + 2}\right)^{3 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{9 u}{10} - \frac{3}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{9 u}{10}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{9 u}{10}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{9 u}{10}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{9}{10}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{9}{10}} = e^{- \frac{9}{10}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = e^{- \frac{9}{10}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = e^{- \frac{9}{10}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = \frac{27}{64}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = \frac{27}{64}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = e^{- \frac{9}{10}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = \frac{27}{64}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = \frac{27}{64}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{10 x - 1}{10 x + 2}\right)^{3 x} = e^{- \frac{9}{10}}$$
Más detalles con x→-oo