Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de log(x)/x
-
Límite de (-1+x)/(-1+x^2)
-
Límite de x-sqrt(-1+x^2)
-
Límite de -1
-
Expresiones idénticas
- factorial(x)^ dos /factorial(dos *x)
- factorial(x) al cuadrado dividir por factorial(2 multiplicar por x)
- factorial(x) en el grado dos dividir por factorial(dos multiplicar por x)
- factorial(x)2/factorial(2*x)
- factorialx2/factorial2*x
- factorial(x)²/factorial(2*x)
- factorial(x) en el grado 2/factorial(2*x)
- factorial(x)^2/factorial(2x)
- factorial(x)2/factorial(2x)
- factorialx2/factorial2x
- factorialx^2/factorial2x
- factorial(x)^2 dividir por factorial(2*x)
-
Expresiones con funciones
- factorial
- factorial(2*n)/factorial(n)
- factorial(n)/cos(n)
- factorial(1+x)^(1/x)
- factorial(x)/factorial(2*x)
- factorial(4+2*n)/factorial(2+2*n)
- factorial
- factorial(2*n)/factorial(n)
- factorial(n)/cos(n)
- factorial(1+x)^(1/x)
- factorial(x)/factorial(2*x)
- factorial(4+2*n)/factorial(2+2*n)
Límite de la función factorial(x)^2/factorial(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x! |
lim |------|
x->oo\(2*x)!/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right)$$
Limit(factorial(x)^2/factorial(2*x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x!^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(2 x\right)! = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x!^{2}}{\frac{d}{d x} \left(2 x\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{\Gamma\left(2 x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{\Gamma\left(2 x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x!^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(2 x\right)! = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x!^{2}}{\frac{d}{d x} \left(2 x\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{\Gamma\left(2 x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{\Gamma\left(2 x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right) = \left(-\infty\right)!$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x!^{2}}{\left(2 x\right)!}\right) = \left(-\infty\right)!$$
Más detalles con x→-oo