Sr Examen

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(8-10*x+3*x^2)/(-4+x^2)

Límite de la función (8-10*x+3*x^2)/(-4+x^2)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /              2\
     |8 - 10*x + 3*x |
 lim |---------------|
x->2+|          2    |
     \    -4 + x     /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
Limit((8 - 10*x + 3*x^2)/(-4 + x^2), x, 2)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(3 x - 4\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x - 4}{x + 2}\right) = $$
$$\frac{-4 + 2 \cdot 3}{2 + 2} = $$
= 1/2

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(3 x^{2} - 10 x + 8\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{2} - 4\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x^{2} - 10 x + 8}{x^{2} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 10 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{6 x - 10}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x}{2} - \frac{5}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x}{2} - \frac{5}{2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha [src]
     /              2\
     |8 - 10*x + 3*x |
 lim |---------------|
x->2+|          2    |
     \    -4 + x     /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
     /              2\
     |8 - 10*x + 3*x |
 lim |---------------|
x->2-|          2    |
     \    -4 + x     /
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right) = 3$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right) = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right) = - \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(8 - 10 x\right)}{x^{2} - 4}\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
1/2
$$\frac{1}{2}$$
Respuesta numérica [src]
0.5
0.5
Gráfico
Límite de la función (8-10*x+3*x^2)/(-4+x^2)