Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2^{4 \sin{\left(x \right)}} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} + 3 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{4 \sin{\left(x \right)}} - 1}{x^{2} + 3 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{4 \sin{\left(x \right)}} - 1}{x \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{4 \sin{\left(x \right)}} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \cdot 2^{4 \sin{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \log{\left(2 \right)}}{2 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \log{\left(2 \right)}}{2 x + 3}\right)$$
=
$$\frac{4 \log{\left(2 \right)}}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)