Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- tres +(nueve + dos *x)^(-x)*(cinco + dos *x)
- 3 más (9 más 2 multiplicar por x) en el grado ( menos x) multiplicar por (5 más 2 multiplicar por x)
- tres más (nueve más dos multiplicar por x) en el grado ( menos x) multiplicar por (cinco más dos multiplicar por x)
- 3+(9+2*x)(-x)*(5+2*x)
- 3+9+2*x-x*5+2*x
- 3+(9+2x)^(-x)(5+2x)
- 3+(9+2x)(-x)(5+2x)
- 3+9+2x-x5+2x
- 3+9+2x^-x5+2x
-
Expresiones semejantes
- 3-(9+2*x)^(-x)*(5+2*x)
- 3+(9-2*x)^(-x)*(5+2*x)
- 3+(9+2*x)^(x)*(5+2*x)
- 3+(9+2*x)^(-x)*(5-2*x)
Límite de la función 3+(9+2*x)^(-x)*(5+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -x \ lim \3 + (9 + 2*x) *(5 + 2*x)/ x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right)$$
Limit(3 + (9 + 2*x)^(-x)*(5 + 2*x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(2 x + 9\right)^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x + 9\right)^{- x} \left(2 x + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} + 5\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 9\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{6 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9} + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} \log{\left(2 x + 9 \right)} + 2}{\frac{2 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9} + \left(2 x + 9\right)^{x} \log{\left(2 x + 9 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{6 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9} + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} \log{\left(2 x + 9 \right)} + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{2 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9} + \left(2 x + 9\right)^{x} \log{\left(2 x + 9 \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{6 x \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right)}{2 x + 9} - \frac{12 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{\left(2 x + 9\right)^{2}} + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right) \log{\left(2 x + 9 \right)} + \frac{12 \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9}}{\frac{2 x \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right)}{2 x + 9} - \frac{4 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{\left(2 x + 9\right)^{2}} + \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right) \log{\left(2 x + 9 \right)} + \frac{4 \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{6 x \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right)}{2 x + 9} - \frac{12 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{\left(2 x + 9\right)^{2}} + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right) \log{\left(2 x + 9 \right)} + \frac{12 \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9}}{\frac{2 x \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right)}{2 x + 9} - \frac{4 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{\left(2 x + 9\right)^{2}} + \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right) \log{\left(2 x + 9 \right)} + \frac{4 \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9}}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(2 x + 9\right)^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x + 9\right)^{- x} \left(2 x + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} + 5\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 9\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{6 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9} + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} \log{\left(2 x + 9 \right)} + 2}{\frac{2 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9} + \left(2 x + 9\right)^{x} \log{\left(2 x + 9 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{6 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9} + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} \log{\left(2 x + 9 \right)} + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{2 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9} + \left(2 x + 9\right)^{x} \log{\left(2 x + 9 \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{6 x \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right)}{2 x + 9} - \frac{12 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{\left(2 x + 9\right)^{2}} + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right) \log{\left(2 x + 9 \right)} + \frac{12 \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9}}{\frac{2 x \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right)}{2 x + 9} - \frac{4 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{\left(2 x + 9\right)^{2}} + \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right) \log{\left(2 x + 9 \right)} + \frac{4 \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{6 x \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right)}{2 x + 9} - \frac{12 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{\left(2 x + 9\right)^{2}} + 3 \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right) \log{\left(2 x + 9 \right)} + \frac{12 \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9}}{\frac{2 x \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right)}{2 x + 9} - \frac{4 x \left(2 x + 9\right)^{x}}{\left(2 x + 9\right)^{2}} + \left(2 x + 9\right)^{x} \left(\frac{2 x}{2 x + 9} + \log{\left(2 x + 9 \right)}\right) \log{\left(2 x + 9 \right)} + \frac{4 \left(2 x + 9\right)^{x}}{2 x + 9}}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right) = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right) = 8$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right) = 8$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right) = \frac{40}{11}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right) = \frac{40}{11}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right) = 8$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right) = 8$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right) = \frac{40}{11}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right) = \frac{40}{11}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 x + 5\right) \left(2 x + 9\right)^{- x} + 3\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo