Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro - tres *x)/(- tres - tres *x))^(uno +x/ tres)
- ((4 menos 3 multiplicar por x) dividir por ( menos 3 menos 3 multiplicar por x)) en el grado (1 más x dividir por 3)
- ((cuatro menos tres multiplicar por x) dividir por ( menos tres menos tres multiplicar por x)) en el grado (uno más x dividir por tres)
- ((4-3*x)/(-3-3*x))(1+x/3)
- 4-3*x/-3-3*x1+x/3
- ((4-3x)/(-3-3x))^(1+x/3)
- ((4-3x)/(-3-3x))(1+x/3)
- 4-3x/-3-3x1+x/3
- 4-3x/-3-3x^1+x/3
- ((4-3*x) dividir por (-3-3*x))^(1+x dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- ((4-3*x)/(-3+3*x))^(1+x/3)
- ((4-3*x)/(3-3*x))^(1+x/3)
- ((4-3*x)/(-3-3*x))^(1-x/3)
- ((4+3*x)/(-3-3*x))^(1+x/3)
Límite de la función ((4-3*x)/(-3-3*x))^(1+x/3)
Solución
Ha introducido
[src]
x
1 + -
3
/4 - 3*x \
lim |--------|
x->oo\-3 - 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$
Limit(((4 - 3*x)/(-3 - 3*x))^(1 + x/3), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(- 3 x - 3\right) + 7}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{- 3 x - 3}{- 3 x - 3} + \frac{7}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{- 3 x - 3}{7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3} - \frac{7 u}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{9}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{9}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{7}{9}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{7}{9}} = e^{- \frac{7}{9}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = e^{- \frac{7}{9}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(- 3 x - 3\right) + 7}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{- 3 x - 3}{- 3 x - 3} + \frac{7}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{- 3 x - 3}{7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3} - \frac{7 u}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{9}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{9}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{7}{9}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{7}{9}} = e^{- \frac{7}{9}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = e^{- \frac{7}{9}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = e^{- \frac{7}{9}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = - \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = - \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{72} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{24}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{72} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{24}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = e^{- \frac{7}{9}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = - \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = - \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{72} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{24}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{72} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{24}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 - 3 x}{- 3 x - 3}\right)^{\frac{x}{3} + 1} = e^{- \frac{7}{9}}$$
Más detalles con x→-oo