Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \left(2 x + 1\right) \tan{\left(5^{- x} \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\tan{\left(5^{- x - 1} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(5^{- x - 1} \right)}}{\left(4 x + 2\right) \tan{\left(5^{- x} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(5^{- x - 1} \right)}}{2 \left(2 x + 1\right) \tan{\left(5^{- x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right) \tan{\left(5^{- x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan{\left(5^{- x - 1} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{x + 1} \left(- \frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{2} \tan{\left(5^{- x} \right)}} + \frac{5^{- x} \left(\tan^{2}{\left(5^{- x} \right)} + 1\right) \log{\left(5 \right)}}{2 \left(2 x + 1\right) \tan^{2}{\left(5^{- x} \right)}}\right) \tan^{2}{\left(5^{- x - 1} \right)}}{\left(\tan^{2}{\left(5^{- x - 1} \right)} + 1\right) \log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \cdot 5^{x} \left(- \frac{1}{4 x^{2} \tan{\left(5^{- x} \right)} + 4 x \tan{\left(5^{- x} \right)} + \tan{\left(5^{- x} \right)}} + \frac{\log{\left(5 \right)} \tan^{2}{\left(5^{- x} \right)}}{4 \cdot 5^{x} x \tan^{2}{\left(5^{- x} \right)} + 2 \cdot 5^{x} \tan^{2}{\left(5^{- x} \right)}} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{4 \cdot 5^{x} x \tan^{2}{\left(5^{- x} \right)} + 2 \cdot 5^{x} \tan^{2}{\left(5^{- x} \right)}}\right) \tan^{2}{\left(\frac{5^{- x}}{5} \right)}}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \cdot 5^{x} \left(- \frac{1}{4 x^{2} \tan{\left(5^{- x} \right)} + 4 x \tan{\left(5^{- x} \right)} + \tan{\left(5^{- x} \right)}} + \frac{\log{\left(5 \right)} \tan^{2}{\left(5^{- x} \right)}}{4 \cdot 5^{x} x \tan^{2}{\left(5^{- x} \right)} + 2 \cdot 5^{x} \tan^{2}{\left(5^{- x} \right)}} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{4 \cdot 5^{x} x \tan^{2}{\left(5^{- x} \right)} + 2 \cdot 5^{x} \tan^{2}{\left(5^{- x} \right)}}\right) \tan^{2}{\left(\frac{5^{- x}}{5} \right)}}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)