Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(e^{5 x} - 1 \right)} \tan^{3}{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x^{2} \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(e^{5 x} - 1 \right)} \tan^{3}{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(e^{5 x} - 1 \right)} \tan^{3}{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(e^{5 x} - 1 \right)} \tan^{3}{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x^{2} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \log{\left(e^{5 x} - 1 \right)} \tan^{4}{\left(x \right)} + 3 \log{\left(e^{5 x} - 1 \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} + \frac{5 e^{5 x} \tan^{3}{\left(x \right)}}{e^{5 x} - 1}}{2 x \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \log{\left(e^{5 x} - 1 \right)} \tan^{4}{\left(x \right)} + 3 \log{\left(e^{5 x} - 1 \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} + \frac{5 e^{5 x} \tan^{3}{\left(x \right)}}{e^{5 x} - 1}}{2 x \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)