Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(5 \sqrt{x} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(25 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(5 \sqrt{x} \right)}}{\sin{\left(25 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(5 \sqrt{x} \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(25 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(5 \sqrt{x} \right)} + 1\right) \tan{\left(5 \sqrt{x} \right)}}{5 \sqrt{x} \cos{\left(25 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(5 \sqrt{x} \right)}}{5 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(5 \sqrt{x} \right)}}{\frac{d}{d x} 5 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\tan^{2}{\left(5 \sqrt{x} \right)} + 1\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)