Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^{2} + 2 n + 2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5} + \frac{8 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{n^{2} + 2 n + 2}}{\frac{d}{d n} \left(\frac{3 n \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5} + \frac{8 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 2} \left(\frac{3 n^{2}}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{9 n \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{8 n}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{24 \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{3 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 2} \left(\frac{3 n^{2}}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{9 n \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{8 n}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{24 \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{3 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)