Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/(-1+(1+x)^(1/3))
-
Límite de (-cos(x)+cos(3*x))/(-1+cos(x))
-
Límite de -1/2+9*x
-
Límite de (4+5*x+6*x^2)/(-2+3*x^2+7*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +(uno +n)^ dos)*(cinco + tres *n)/(sqrt(uno +n^ dos)*(ocho + tres *n))
- raíz cuadrada de (1 más (1 más n) al cuadrado ) multiplicar por (5 más 3 multiplicar por n) dividir por ( raíz cuadrada de (1 más n al cuadrado ) multiplicar por (8 más 3 multiplicar por n))
- raíz cuadrada de (uno más (uno más n) en el grado dos) multiplicar por (cinco más tres multiplicar por n) dividir por ( raíz cuadrada de (uno más n en el grado dos) multiplicar por (ocho más tres multiplicar por n))
- √(1+(1+n)^2)*(5+3*n)/(√(1+n^2)*(8+3*n))
- sqrt(1+(1+n)2)*(5+3*n)/(sqrt(1+n2)*(8+3*n))
- sqrt1+1+n2*5+3*n/sqrt1+n2*8+3*n
- sqrt(1+(1+n)²)*(5+3*n)/(sqrt(1+n²)*(8+3*n))
- sqrt(1+(1+n) en el grado 2)*(5+3*n)/(sqrt(1+n en el grado 2)*(8+3*n))
- sqrt(1+(1+n)^2)(5+3n)/(sqrt(1+n^2)(8+3n))
- sqrt(1+(1+n)2)(5+3n)/(sqrt(1+n2)(8+3n))
- sqrt1+1+n25+3n/sqrt1+n28+3n
- sqrt1+1+n^25+3n/sqrt1+n^28+3n
- sqrt(1+(1+n)^2)*(5+3*n) dividir por (sqrt(1+n^2)*(8+3*n))
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+(1-n)^2)*(5+3*n)/(sqrt(1+n^2)*(8+3*n))
- sqrt(1-(1+n)^2)*(5+3*n)/(sqrt(1+n^2)*(8+3*n))
- sqrt(1+(1+n)^2)*(5-3*n)/(sqrt(1+n^2)*(8+3*n))
- sqrt(1+(1+n)^2)*(5+3*n)/(sqrt(1-n^2)*(8+3*n))
- sqrt(1+(1+n)^2)*(5+3*n)/(sqrt(1+n^2)*(8-3*n))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(5*cos(x)+sin(1/x)^2*atan(x))
- sqrt(x^5/(13+x))
- sqrt(-2+x^4+6*x^8)*sqrt(3-x^2-6*x^8)
- sqrt(6)*atan(sqrt(6)*(-1+x)/6)/6
- sqrt(1/(2*sin(x))+3*cos(2*x)*tan(x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(5*cos(x)+sin(1/x)^2*atan(x))
- sqrt(x^5/(13+x))
- sqrt(-2+x^4+6*x^8)*sqrt(3-x^2-6*x^8)
- sqrt(6)*atan(sqrt(6)*(-1+x)/6)/6
- sqrt(1/(2*sin(x))+3*cos(2*x)*tan(x))
Límite de la función sqrt(1+(1+n)^2)*(5+3*n)/(sqrt(1+n^2)*(8+3*n))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ______________ \
| / 2 |
|\/ 1 + (1 + n) *(5 + 3*n)|
lim |---------------------------|
n->oo| ________ |
| / 2 |
\ \/ 1 + n *(8 + 3*n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
Limit((sqrt(1 + (1 + n)^2)*(5 + 3*n))/((sqrt(1 + n^2)*(8 + 3*n))), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^{2} + 2 n + 2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5} + \frac{8 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{n^{2} + 2 n + 2}}{\frac{d}{d n} \left(\frac{3 n \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5} + \frac{8 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 2} \left(\frac{3 n^{2}}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{9 n \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{8 n}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{24 \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{3 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 2} \left(\frac{3 n^{2}}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{9 n \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{8 n}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{24 \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{3 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^{2} + 2 n + 2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5} + \frac{8 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{n^{2} + 2 n + 2}}{\frac{d}{d n} \left(\frac{3 n \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5} + \frac{8 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 2} \left(\frac{3 n^{2}}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{9 n \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{8 n}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{24 \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{3 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 2} \left(\frac{3 n^{2}}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{9 n \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{8 n}{3 n \sqrt{n^{2} + 1} + 5 \sqrt{n^{2} + 1}} - \frac{24 \sqrt{n^{2} + 1}}{9 n^{2} + 30 n + 25} + \frac{3 \sqrt{n^{2} + 1}}{3 n + 5}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \frac{5 \sqrt{2}}{8}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \frac{5 \sqrt{2}}{8}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \frac{4 \sqrt{10}}{11}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \frac{4 \sqrt{10}}{11}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \frac{5 \sqrt{2}}{8}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \frac{5 \sqrt{2}}{8}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \frac{4 \sqrt{10}}{11}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = \frac{4 \sqrt{10}}{11}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(3 n + 5\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{2} + 1}}{\left(3 n + 8\right) \sqrt{n^{2} + 1}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo